2018年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知线性变换
求从变量
【答案】
记系数矩阵.
因性变换的矩阵形式为
又
，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，
于是从变量
到变量
的线
于是即
2． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0, 1, 0, 0），（1, -1, 0, 0, 0）.
【答案】
因的秩为2,
故满足要求的方阵可以是
3．
设0,
故
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
则A=1或A=2.
【答案】设A 是A 的特征值，
则
4．
设是非齐次线性方程组AX=B的一个解
，
线性无关；
线性无关.
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1
）（2
）
【答案】（1）设有关系式
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，
由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
也即
由（1），
向量组
，于是
5． 设n 阶矩阵A
的伴随阵为
（1
）若
（2
）【答案】
⑴因
要证与
用反证法：
设则
当
时，
上式成为
是可逆矩阵，
用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
由矩阵可逆的充要条件知
.
时
，结论成立；
于是
线性无关，
故
，并且
也等于0, 故所给向量组线性无关.
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，
由定义知
线性无关.
证明：
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，
亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，
当（2）分两种情形： 情形1
:情形2
:
由（1）
,
在两边取行列式，得
6． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
（1
）因
故A 可逆，于是
为未知数矩阵，b
即有
（2
）因故A 可逆，于是
即有
7． 证明R （A ）=1的充分必要条件是存在非零列向量a
和非零行向量
【答案】先证充分性.
设
按矩阵秩的性质，
由
于是R （A ）=1.
再证必要性.
设
并+
妨设
有
，使
，知
并不妨设
另一方面，A 的（1，1）
元
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