2018年中山大学工学院602高等数学(B)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1．
设
【答案】4-3a 【解析】若能
求得
可得
则
的全体元素之和即
是
的全部代数余子式之和，由公
式
是
中元素的代数余子式，则
=_____
又故
故
2． 已知齐次线性方程
组
则方程组【答案】
k 是任意常数
的通解是_____。
有通
解
【解析】方程组（2）的通解必在方程组（1）的通解之中，是方程组（1）的通解中满足（2）中第3个方程的解，令（1）的通解
满足⑵的第3个方程，得
整理得的通解.
3．
已知齐次线性方程组
【答案】-5或-6
【解析】齐次方程组Ax=0
有无穷多解的充分必要条件是程的齐次方程组，
故可以用系数行列式
故a=-5或-6. 4．
设
【答案】【解析】
则
=_____.
现在是三个未知数三个方
有无穷多解，则a=_____.
代入（1）的通解得
（其中
是任意常数），是方程组（2）
从而有
_
二、计算题
5．
设
求
【答案】直接计算得
一般可得
事实上，当k=1时，（1）式显然成立； 设当k=n时，（1）式成立，那么当时，
由归纳法，知（1）式成立.
6． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】
因得
两端取行列式得
7．
设
是m
阶矩阵
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
求
故A 可逆.
于是由
及
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值
，是对应于它的特征向量.
即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明
.
式得
因此
事实上，由
8． 用矩阵记号表示二次型：
（1
）（2
）（3
）
【答案】（1）
（2）
（3）
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