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一、解答题

1．

设三维列向量组

（Ⅱ）

当

【答案】（Ⅰ）由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

和向量组向量

线性表示.

所有非零解，即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：

使得

线性无关；

向量组

则

构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，

线性无关，故

不全为0

,

即存在非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

线性无关，

列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示；

（Ⅰ

）证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时，

求出所有非零列向量

（Ⅱ）易知，

求出齐次线性方程组下面将方程组

于是，方程组的基础解系可选为

_意非零常数.

因此，

所有非零列向量

2． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型

为标准形，并写出所用正交变换；

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所有非零解

_

t 为任

矩阵A 满足AB=0, 其

中

（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.

于是

3．

已知通解是

.

, 证明

【答案】

由解的结构知

是4阶矩阵，其中

是齐次方程组

故秩

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又由

得

因与

可知综上可知，

有

即故都是

的解

. 由

线性无关.

由

是

得的基础解系

.

那么

4．

设三阶方阵A

、B

满足式

的值.

其中

E 为三阶单位矩阵. 若求行列

【答案】由矩阵知则. 可

逆. 又

故即

所以即

而

故

二、计算题

5． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.

【答案】

由特征方程的定义因此，只需证

而

是

的全部特征值. 由特是

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是A 的特征值

6

．

已知3阶矩阵A 的特征值为

1, 2, 3,

求

【答案】

令

的特征值. 又：

征值性质得

因1，2, 3是A 的特征值，故为3阶方阵，于是