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一、计算题

1． 一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图1（a ）所示，为提高其承压能力而在长度中央，使其在该处不能横移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式，并计算加固增设旁撑 （图b ）前、后临界力的比值。

图

1

图2

【答案】对于图1（b ）在微弯状态下保持平衡，其挠曲线由AB 、BC 两部分组成，建立坐标系，如图2所示。

建立各段挠曲线微分方程: BC 段:AB 段:

令，以上两式可变形为:

以上两式通解及一阶导分别为:

对于式②，由边界条件

可得：

对于式①，由边界条

件数

:

且有:

变形连续性条件:

代入各一阶导方程中得:

联立式③④⑤构成齐次方程组，要使零，即:

有非零解，则必须使上述方程组的系数行列式为

可确定积分常

整理得:

该方程的最小非零解:由

得该压杆的临界压力:

加固前该压杆的临界压力:

加固前后临界力的比值:

2． 如图所示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。力F 与AB 杆轴线间的夹角为最大时的

，且

。若由于杆件在纸平面ABC 内的失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为

角及其最大临界荷载。

【答案】当AB 杆和BC 杆同时失稳，即轴力同时达到临界值时，载荷F 为最大。设AC 长l ，则有:AB 杆临界力

BC 杆临界力故

解得，载荷F 与AB 杆轴线夹角此时F 有最大值

3． 长度为l=2m、截面为z 字形的悬臂梁，在自由端承受铅垂集中荷载F=10kN，截面尺寸如图（b ）所示（图中尺寸为mm ）。已知截面对y 、z 的惯性矩和惯性积分别

为

，试求:

（l ）危险截面上点A 处的正应力。 （2）中性轴位置及最大正应力。