2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
, ，从而否定C ,
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
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使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
3． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
4． 设行列式
所以向量组
线性无关.
线性无关.
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
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5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 解线性方程组
【答案】
所以秩
秩
此方程组有无穷多解，且其通解为
其中 7． 如果使
【答案】即即先考虑有
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为任意常数.
是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，那么在V 中必存在向量，也两两不同. 使
当且仅当
的核.
时，
两两不同，
的核是零子空间的情形，
不是零变换或它们的核不是V . 我们暂时不考虑
的核是非平凡子空间的情形.
当
的
的核是零子空间时，
的核中，即
的核中. 故这a 不在所有
不属于所有这些非平凡子空间. 这时
当然a 也不在