2018年成都理工大学管理科学学院611数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若单调数列
【答案】设切正整数k ,
含有一个收敛子列, 则
收敛.
是有界的. 设正数M 是的一个上界, 即对一的子列, 所以存在正整数s , 使得
收敛. 把方程
变为方程证明:
. 其中u （x , y）具有二阶连续偏导数. 为方程
的两个不同实根.
, 于是
同理
将其代入方程中整理得
由已知条件, 原方程变为
, 所以有
由为方程
3． 设曲线
证明
知, 一元二次方程
的两个根, 由第三个不等式知
有两个不等的实根, 而由前两个方程知
.
.
于是
是
单调递增, 它的子列
收敛, 则
对任意的正整数n , 由于
这说明数列
2． 设常数A , B , C 满足
是有上界的. 由单调有界定理知, 数列
, 且线性变换
【答案】由已知得关系式
的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.
【答案】由对称性知
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4． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以
, f （x , y）在点（0
, 0
）连续. 由偏导数定义知
同理但当
时, 其值为0. 所以,
所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.
考察
由于当
时, 其值为
不存在, 故f （x , y
）在点（0, 0）不可微.
二、解答题
5． 讨论下列问题:
（1）f （X ）, g （x ）在点x=0的可导性, 其中
（2
）（3）微的点.
【答案】 （1）因为
故
不存在.
的可导性, 其中
则f （x ）在点x=0可微, 但在x=0的任何一个邻域内有不可
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由于
故
（2）因为
»
所以f （X ）在点X=1可导, 且
因f （X ）只在点X=1连续, 在其他任一点（3）因为
故取
, 因为
所以
同理
从而f （x ）在
处不可微. 因
, 故在
,
都不连续, 从而f （X ）在点1
. 不可导.
x=0的任何邻域内都有不可微点.
6． 求下列不定积分:
（1）由于
在
（2）
时
,
上连续, 故其原函数必在
, 当
即
, 因此
, 所以
（2）当当
.
时
, 时,
【答案】（1）当时,
连续可微. 因此