2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库
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目录
2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库（一）.... 2 2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库（二）.... 9 2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库（三）.. 13 2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库（四）.. 19 2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研核心题库（五）.. 24
一、证明题
1． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？
【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给
的时,
（1）由不等式故（2）由（3）当
. 即
知, 由在点x 0连续.
在点x 0连续.
, 则
与
为
时,
, 而|f|在x 0连续, 故
存
在
, 使得
当
与也在点x 0连续. 又问:若
或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否
或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,
常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.
2． 证明:若三角级数
中的系数
满足关系
M 为常数, 则上述三角级数收敛, 且其和函数具有连续的导函数. 【答案】
设
上连续, 由
可知
且级数
收敛, 故级数
在
上一致收敛, 记
又因为
所以
且
时
&
上均连续, 且
故
的每一项均
在
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及级数收敛, 故可得级数收敛且一致收敛, 记
由定理（连续性）可知, 该级数的和函数g （x ）在知 3．
证明有界函数.
4． 证明:若
【答案】若从而
是R 上的有界函数.
于是,
【答案】由平均值不等式可得
所以级数
上连续. 又由定理（逐项求导）
的和函数S （x ）有连续的导函数g （x ）.
故是R 上的
为递增数列, 则无界, 则
等式成立.
若
有界,
由单调有界原理可得
存在
,
二、解答题
5． 设
【答案】由
是定义在是定义在
上的连续的偶函数, 则上的连续的偶函数知.
从而
所以原命题成立.
从而令
有
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6． 计算下列曲线积分:
（1）（2）（3）（4）B :
（5）（6）
, L 是抛物线
从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;
.
,
若从x 轴
,
L 是维维安尼曲线
其中L 是由
和x+y=2所围的闭曲线;
其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线
L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点
正向看去, L 是逆时针方向讲行的.
【答案】（1）闭曲线L 如图1所示, 其中AOB —段为, AB —
段为
,
, 所以
图1
（2）双纽线在第一象限的参数方程为其极坐标方程是故
由于被积函数与L 的对称性, 有
（3）由所以
,
有