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一、证明题

1． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列

【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）令

则

2． 设

【答案】

由题设

可知

于是原命题得证. 3． 设

【答案】令在又有

内可导,

, 故由柯西中值定理, 存在

, 证明存在

. 使得, 则

在, 于是当, 使得

4． 设f （x ）在

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总有

都有一定存在

有

.

则称a 为数集A 的上确界, 即

证明:

介于1与之间.

. 上连续,

时, , 即

与

不同时为零.

上二次可微, 且

证明:

【答案】及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

在x 与x-h 之间

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

可得

二、解答题

5． 求下列函数微分:

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

（6）

6． 长10米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为8千克, 问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元, 则有

7． 将以下式中的（x , y , z ）变换成球面坐标

, 故

的形式:

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【答案】将

.

对变换①, 有

看成由①和②

复合而成.

对变换②, 有

故有

对上述变换①的结果, 得

对变换②, 有

因为

所以

故

8． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

所以F （y ）在y=0处不连续, 当

时

在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当.

时, 函数

的连续性,

其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数

.

.

【答案】由于f

（x

）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,

第

4 页，共

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