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一、计算题

1． 设X 服从泊松分布，且已知

【答案】由

得

求，从中解得

2． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.

【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为

此处

因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为

3． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字

再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得

4． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以射炮？

【答案】设共需要n 门高射炮，记事件为“第i 门炮射击命中目标”，

，而

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，由此得

近似置信区间

每次随机抽出一个，记下其号码，放回去

且有

由

则服从参数为p 的几何分布，因此

的把握击中飞机，需要几门高

.

则

由此得，两边取对数解得所以取n=13, 可以有的把

握击中飞机.

5． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有题1，而答对问题1将获得200元奖励；有

励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？

【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为

表

1

由此得E （X ）=168（元）

又记Y 为回答顺序为2, 1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=176（元）

因此应该先回答问题2, 可以使获得的奖励的期望值最大.

6． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 【答案】此样本容量为10, 经排序可得有序样本:

其经验分布函数

的把握答对问

的把握答对问题2, 而答对问题2将获得100元奖

其图形如图所示.

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图

7． 设

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明:若c 己知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若己知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】 （1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即其中

和

都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

，

»

其中

因此，

， 都已知.

所以当C 已知时帕雷托分布为的共扼先验分布. （2）当已知时，不妨设c 服从伽玛分布即则给出样本

其中

后c 的后验分布密度函数

这说明

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，证明完成.