2018年北京工商大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 若
【答案】因为
，如果A ，B 相互独立，试证:A , B 相容.
，所以
，即A ，B 相容.
2． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
. 由
得
，两边取对数解得
，所以取n=4, 即投掷4次可以保证至少一次出现
点数为6的概率大于1/2.
3． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下:甲地区抽取10名，样本均值L64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m ，样本标准差0.4m. 求:
（1）两正态总体方差比的置信水平为（2）两正态总体均值差的置信水平为【答案】设由题设条件
，（1）此处由此，
的
，的置信水平为
的置信区间为
，查表得的置信区间为
（2）由（1）方差相等，此时，
查表得
. 故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为
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为“第i 次投掷时出现点数为6”，
的置信区间； 的置信区间.
为乙地区抽取的女青年身高，
，
为甲地区抽取的女青年身高，
的置信水平为的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的
还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间， 由于
的近似置信区间为
这二个置信区间相差不算太小，所以在应用中条件“方差相等”是否成立是要加以考证的. 查表知
从而两正态总体均值差的置信水平为
4． 设总体为估计.
【答案】由题意知，观测值为正的频率
下面计算观测值为正的概率. 当总体为
其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为
譬如，若设
5． 设
则由上式知是标准正态分布的
是来自总体X 的简单随机样本, X 的概率密度为
记
.
和最大似然估计量；
得A 的矩估计量
, 令
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现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的
时，
分位数，
（1）求的矩估计量【答案】 （1）
令
（2）求Y 的数学期望EY 的最大似然估计量.
样本的似然函数取对数
解得（2）
由于EY 是A 的单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 故EY 的最大似然估计量为
6． 设事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4, 求
【答案】由题设知
.
. 又因为A ，B 独立，所以由
解得
7． 为估计某台光谱伩测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为区间.
【答案】从题意可知，这里可以看作来自正态总体
由此可知
即.
，
的容量为n=6的样本标准差，
, 试求的0.95置信
, 从而A 的最大似然估计量
；
及.
由于各试块的测量可认为相互独立的，故有
从而
即
故的现算出查表知.
代入可算得的0.95置信区间为
置信区间为
，
，
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