2018年天津师范大学数学科学学院654高等数学之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 是以
为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有
【答案】令
则
同理可证
2． 证明:若f （x ）在区间
【答案】
记贝
!J
.
,
故
, 有, 使
故
, 即
3． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
. 证明:
【答案】将结论变形为
上有界, 则
若M=m, 则f （x ）为常数, 等式显然成立. 设m 另一方面 由上、下确界的 定义知, 分别存在 从而由上界确定义知 , 使得 进而写成 由使 在式（1）中, 若 , 即 再结合式（2）, 问题就解决了. 而对f （x ）在[a, b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（3）成立. 4． 设 【答案】由 可以看出, 首先应对f （x ）和 在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有 , 证明: 代入得 5． 设f n （x ）是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ）， 证明：[0, 1]上连续，从而 故本题等价于证明 因为f n （x ）在[0, 1]上一致收敛于f （x ）, 所以对任意的从而对任意的n ＞N 有 即 . 从而结论得证. ，存在N ＞0使得 .] 【答案】因为f n （x ）是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），所以f （x ）在 二、解答题 6． 求下列函数的导数 【答案】（1） （2）（3）（4） 7． （1）设 在 上可导. 若存在 使 （2）设在上可导, 设存在 使 设 【答案】[1]存在 证明:存在使得 . 使 [2]方法一 反证法:假设结论不真. 则对所有不妨设对一切当n 充分大时, 若有令 必有 都有 则有或者 则 上严格单调递增. 对上述不等式取极限, 则得 这与条件矛盾； 同理对所有若下设 因为 的数 存在 从而由Rolle 定理知, 存在若②当（x ）在 ③当 时, 时 , 处取到最小值, 则有 , 则 任取一点作 不恒等于 都有, 则存在 时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立. 则使得 类似可证） 函数 使得使得 在 内连续, 所以对任意取定 结论自然成立； 方法二 ①当为有限数时, 若 （对 上面的推理仍然正确. 易知 易知 在 内可取到最大值, 在 内可取到最小值, 设f
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