2018年天津职业技术师范大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:
【答案】两次应用洛必达法则得
2． 设f （x ）在
（1）（2）设
上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;
, 则t=0.
知, 数列
为收敛数列.
上连续, 对
两边取极限, 得
因此f （t ） =t.
（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0.
3． 设由行列式表示的函数
其中
的导数都存在，证明
时,
所以由f （t ） =t可
为递减数列. 由
知, 数列
有
. 设
证明:
为收敛数列；
（3）若条件改为【答案】（1）由界.
根据单调有界定理, （2）设
, 由于f 在
【答案】记
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由行列式定义知f 为元的可微函数且
于是由复合函数求导数法则知
记①右边行列式中
的代数余子式为
，则
①
②
从而代入②，得
其中
是将元素
去掉后得的n
－1
阶行列式，
它恰为行列式
，
中
的代数余子式，于是由③知
4． 证明:函数
（a 、b 为常数）满足热传导方程:
【答案】因为
所以
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5． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且, 有
*
证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
二、解答题
6． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性:
（1）（2）
【答案】（1）因为
而当0 即当0 时, 由于 所以f （x , y ）在点（0, 0）不连续. （2）函数的定义域为当轴上任一点 , 当 时有 , 于是 （p>0）, 在点（0, 0）处; 在其定义域上. , 所以 . 时, 由初等函数的连续性知f （x , y ）连续. 下面只考虑x=0（即y 轴）上点的连续性. 对y