2017年浙江财经大学数学与统计学院891统计学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． [1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
表
试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.
【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的
括号里的事件等价于
因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
置信区间可进一步简化为
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是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区
，因
而
分位数
可得
则有，
其中
[2]平均月销售量
此处间为
若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.
2． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
分别为
的MLE.
而在
下
的MLE
为
未知. 证明关于假设
较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
3． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
这就完成了证明.
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
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【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
4． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
5． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
所以
所以
所以
由
由
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
得得
由（3）（有限交）得, 诸
独立,
是已知常数, 证明
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
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）是（）的充分统计量.
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