2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
因此
其中
为X 的分布函数, 类似有
因此
由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,
即可得这就意味着
证毕.
存在，试证明：
（1）（2）
2． 设X 为非负连续随机变量，若
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
3． 设总体二阶矩存在,
是样本, 证明
则
与的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由
因而
所以
4． 设0 【答案】由条件 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 由于, 5． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）. 【答案】因为 6． 设随机变量序列 独立同分布, 其密度函数为 试证: 【答案】因为当x<0时, 有 当 „所以, 对任意的 时, 有 , 当 所以有 结论得证. 独立同分布, 试证: 【答案】设诸而事件 所以由单调性知从而得 又因为 所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）. 其中常数而当时, 有 , 令 时, 有 7． 设连续随机变量 的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为. 从而该事件的概率为 若记诸 的分布函数为 则上式积分可化为 8． 设随机变量 相互独立, 且 试证: 【答案】而事件 从而该事件的概率为 的联合密度为 二、计算题 9． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率. 【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）. 10．下表是经过整理后得到的分组样本: 表 试写出此分组样本的经验分布函数. 【答案】样本的经验分布函数为