2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
【答案】因为
所以
2． 设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
3． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
时, 有
当, 结论得证.
时, 有
令
由此得
中任意两个的相关系数都是p , 试证:
4． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以 独立，由此得 再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 即 5． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证： （1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则 因此 所以得 又由 所以 （2）当c=0时， 又由 由此得结论. 6． 设 为自由度为n 的t 变量, 试证: 的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. , 其中 , 且X 与Y , 考察其极限知 由特征函数性质知 从而由 , 再按依概率收敛性知 这就证明了 的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 试证：A 与B 独立. 得 再由上题即得结论. 7． 设0 【答案】由条件 【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知： 由此得 【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为 , 劼的特征函数为 8． 设 【答案】若 , 证明:服从贝塔分布, 并指出其参数. , 则X 的密度函数为 由 在上是严格单调增函数, 其反函数 为 Z 的密度函数为 整理得 这说明Z 服从贝塔分布 , 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半. 二、计算题 9． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且 求Z 的分布列. 【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为 由此得 10．设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为 试求（1）边际密度函数 ；（2）X 与Y 是否独立？ 【答案】（1）因为P （x , y ）的非零区域为图的阴影部分, 如果定义随机变量Z 如下
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