2018年南开大学生命科学学院845普通生态学之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
2． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
是.
的一个特解，所以选C.
则
为（ ）.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
第 2 页，共 45 页
【答案】C 【解析】而
. 则
也不是线性变换，比如给
,
矩阵，
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
（否则与
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
其中
则PAQ=B
秩A , 则线性方程组（ ）.
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩
二、分析计算题
6． 设
（1）（2）如果【答案】 （1）设因为A 是正定矩阵，所以故
（2）设因为A 和
其中
，则
都是正定矩阵，所以
，且.
故
即
7． 求一个次数最低的实系数多项式，使其被x 2+1除余x+1被x 3+x2+1除余x 2-1
【答案】方法1由题设，令显然即
第 3 页，共 45 页
都是n 阶实矩阵，且A 与
是B 的特征值，那么
, .
都是正定矩阵，证明:
，其中E 是n 阶单位矩阵
是A 的特征值，则
是
的特征值，
，则存在多项式
令
.
取
得
使
，为求最小次数的
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
所以可以验证，
确实是被
除余
的多项式.
使
于是应有设
则可设
是
的倍式，
比较两边同次项系数得
所以
8． 设T 是线性空间V 上线性变换,
T 的核记为
（1
）证明:
（2）若v 是n
维线性空间, 证明:存在正整数k , 使得
并证明,
对一切
的整数有
（
3）若V 是n 维线性空间, 证明:
【答案】
（1）要证①式, 只要证明
即可. ①成立.
要证②式, 只需证明
即可.
则存在
（2）由上面①式有
由于V 是有限维,
是常数, 且维数不能为负, 因此⑧式不能无限不等下去, 从而一定
第 4 页，共 45 页
从而
方法2同解法1, 有多项式
即为所求.
的象记为
则所以有
故此即⑥成立, 从而
使
从而⑦式成立, 所以②式成立.