当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设

则3条直线

①

（其中A. B. C. 秩D.

线性相关，

【答案】D 【解析】令其中

秩由秩从而可由

. ，可知

则方程组①可改写为

②

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

线性表出.

线性相关，故选D.

秩A , 则线性方程组（ ）.

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

线性相关 线性无关

线性无关

）交于一点的充要条件是（ ）

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

3． 设线性方程组

A. B. C. D.

阶方阵，且秩的解都是线性方程组

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩

的解, 则（ ）.

【答案】C 【解析】设

与

的解空间分别为

则

所以

即证

4． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

中选三个向量组

，从而否定A , 若选

若选, ，从而否定C ,

故选B.

5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

其中

则PAQ=B

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

二、分析计算题

6． 已知

（1）求A 的不变因子, 初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】 （1）用初等变换将

化为标准形,

于是A 的不变因子

是

最小多项式为

初等因子

是

（2） A 的若当标准形为

7． 求多项式其中

在实数范围内，当n 为奇数时：

其中

是一个实数，

当n 为偶数时：

8． 设A 为n 阶方阵，证明

：

【答案】当

时，有

当当当

时，有时，时，有

从而

也可逆，并求

可逆，且

在复数范围内和在实数范围内的因式分解.

【答案】利用n 次单位根的三角表示，可得在复数范围内：

而

所以

显有

结合n>2时知

故仍有

9． 设A 、B 、

【答案】因为由己知得

均为n 阶可逆阵，证明：