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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

且

所以

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则A 与B （ ）.

则分块矩阵

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,

与分别为A , B 的伴随矩阵，

则有（ ）.

A. 交换A *

的第1列与第2列得B *

B. 交换A *

的第1行与第2行得B *

C. 交换A *

的第1列与第2列得- B*

D. 交换A *

的第1行与第2行得- B*

【答案】C

【解析】解法1:题设所以有

又

所以有

即右乘初等阵

得

解法2

题设

所以

因此

即

4． 设

则3条直线

（其中）交于一点的充要条件是（ ）

A. 线性相关 B. 线性无关

C. 秩

D.

线性相关，

线性无关

【答案】D 【解析】令则方程组①可改写为

其中

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

秩

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①

②

由秩. ，可知线性无关，由秩可知1线性相关，即可由线性表出，

从而可由线性表出. 线性相关，故选D.

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题设知，所以

则A=（ ）.

二、分析计算题

6． 设

分别为n 元齐次线性方程组

的解空间（A 与B 的行数各为何, 不限）, 与

因为若n

元列向量

试给出两个R 元齐次线性方程组使其解空间分别为

【答案】①以

则

从而②设

分别为子空间’ 是

的一个基.

则P 是秩为r 的

再令

组因而

的每个基础解系均含的解空间就是

矩阵, 从而

的每个基础解系含, 则Q 是秩为

个向量. 现任取其一基础解系,

设为

矩阵. 从而n 元齐次线性方程

反之, 若

则得|

且

与的基. 于是由维数公式知,

的维数

且

（1）

为系数矩阵的n 元齐次线性方程组的解空间是

现设P 为以（1）中诸（列）向量为行所得的矩阵, 即

个向量, 且由上易知（1）是它的一个基础解系,

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