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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

2． 设向量组

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为

3． 二次型

A. 正定

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1

所以

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.

线性无关.

所以向量组线性无关. 是（ ）二次型.

B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B.

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

5． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C.

使

则（ ）.

则（ ）.

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【答案】C 【解析】若当故选C.

时，

由

，用

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

二、分析计算题

6． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换, 在某基下的矩阵为对角矩阵, 又的全部互异的特征值. 证明:存在V 的线性变换

其中

为特征值的特征子空间.

（1）

现在令①对V 中任意

易知

由（1）可得

因此,

②由于对V 中任意故③当⑤显然

④对任意

有又任取

则

时, 由于对任意

有

故

故 所以

有

是V 的线性变换.

【答案】由于T 可对角化, 故V 为所有特征子空间的直和, 即于是对V 中任意向量总可唯一表为

使

为T

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