当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

是n 维欧氏空间V 的S 个单位正交向量组成的向量组

.

（1）证明:W 是欧氏空间V 的子空间； （2）求W 的基与维数； （3）求W 的正交补. 【答案】 （1）

有

其中. 其中

又因为

其中（2）

此即证明W 是V 的子空间.

再证它们线性无关, 令

线性表出. 事实

所以

则

, 则

2． 求实数域R 上由矩阵

的实系数多项式构成的线性空间V 的维数与一组基.

第 2 页，共 40 页

非空

.

可证口能

由

上,

则

综上得证（3）用将

再将它扩大为V 的一组正交基

方法.

为W 的一组基. 正交化得

.

专注考研专业课13

年，提供海量考研优质文档！

【答案】由于经计算知

故A 的多项式得线性方程组

可以由线性表示, 即

是V 的生成元. 若

由其系数行列式不等于. 知故

3． 已知

是V 的基

,

于是

线性无关,

A , B, C是n 阶矩阵，A

可逆，并且

（1）

可逆，并求其逆。

证明

【答案】设A 的特征多项式为

由

Hamilton-Caylay 定理知

由A

可逆，

则

于是

上式两边左乘C , 右乘B , 得

（2）

注意到A 可逆，由

故因为

所以

第

3 页，共 40 页

可逆.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

4． 设

E 为n 阶单位矩阵，a , b为给定的n 维列向量，并有

证明：

是正定矩阵. 【答案】当

时，显然

所以有

正定.

令

则有H , 为对称阵，且

所以的特征值为从而h ，半正定. 所以H 是正定矩阵.

5． 求

, 其中

【答案】设

为A 的特征多项式,

则

令

由①式得

再令

由①得

再由①有

在③式中令

得

于是

在④式中, 令

得

将

代入②得

再由①式得

第 4 页，共 40 页

①