2017年上海理工大学管理学院811概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
2． 设随机变量
服从大数定律.
试证:
【答案】而事件
从而该事件的概率为
3． 设由
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证的联合密度为
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
时,
一致地有
时,
有
服从大数定律.
相互独立, 且
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
4． 设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为
试证
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
5． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
6． 设随机变量
（1）（2）
和
与
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
则是独立同分布的随机变量, 且
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
时,
则
的密度函数为
则
所以
当
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
7． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
8． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
, 所以
又因为
所
是任意两个不为0的常数, 证明