2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 设
为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且服从大数定律.
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
【答案】因为
, 所以
又因为
所
时,
和
则
的密度函数为
则
所以
当
与
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
3． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
4． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是
（2）有界性. 对任意的x ，有
且
（3）右连续性. 5． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
6． 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
„所以, 对任意的
, 且X
的特征函数, 由唯一性定理知
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：
都是分布函数，故当
时，有
又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
服从大数定律.
其中常数
时,
有
, 当
而当时, 有
, 令
时,
有
所以有
7． 设
结论得证.
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
8． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
为自由度为n 的t 变量, 试证:
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
即
值已知）的共轭先验分布.
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
二、计算题
9． 已知随机变量Y 的密度函数为
在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为