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一、分析计算题

1． 设

求

【答案】

A 的特征值为

则

取一个解

它是A 的属于特征值为1的特征向量.

则

取一个解

它是A 的属于5的特征向量.

则

取一个解令

则

故

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属于1的特征向量设为

属于5的特征向量设为

属于-5的特征向量设为

它是A 的属于-5的特征向量.

2． 设A 是反对称矩阵，则

【答案】

同样可证

3 设A 为一n 阶正定阵，．且

试证：

【答案】由题设，令

因为

即

因之

又所以

因为

故

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是正交阵.

故

，为n 个关于A 为共轭的非零列向量即

是正交矩阵.

所以对角阵D 的行列式>0.

线性无关.

故

所以

4． 证明：只要

就可以适当选择适合等式

【答案】根据定理2, 有多项式_根据带余除法，有

使

其中

如果

则有

因此

是

再令

于是

下面来证

将上式改写成

因为上式左边的次数等于0. 因此左边两项次数必相等. 而

因此

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的次数都大于零，

的

与

使

. 满足

的一个最大公因式.

与题设的次数大于零矛盾.

因此