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一、分析计算题

1． 设

（1）证明：（2）把【答案】（1）

和

线性无关；

扩充成一个极大线性无关组.

这两个向量不成比例，故线性无关.

排为第1, 2, 3, 4, 5列，

对它作初等行变换化成阶梯形

.

（2）作矩阵A ，它分别把

由于初等行变换保持列向量之间的线性关系，以及B 的第3列是第1列及第2列的线性组合，第1列，第2 列，第4列线性无关，第5列又是第1列，第2列及第4列的线性组合. 故线性无关，

是

的线性组合，即

的扩充.

分别添加到

中都成为线性相关向量

组. 于是是极大无关组，且是

2． （X ），g （x ）不全为0，求解:

【答案】方法1令

且

于是

且

再由③有

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则①式改为

从而存在使-两边乘

则

有

进而，

由⑥知

由④，⑦得证①. 方法2

3． 若B 是正定阵，A —B 是半正定阵，证明

（1）（2）

且

又因AB 半正定，故（2）因为

由（1）知 4

再由②知

的行个特征值都不小于1. 所以

且

分析

由

【答案】由

解方程组

得

由（1-22

）知

公因式都是

的公因式都是的公因式，故

5． 设A 为m ×n 矩阵，E 是n 阶单位方阵. 证明：

①XA=E（X 为nXm 未知矩阵）②由AB=AC可得其中B ，C 都是n ×s 矩阵.

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【答案】（1）已知B 正定，所以存在可逆阵T ，使

也半正定，特征值非负. 此即A ≥1.

．

设

证明

：

解

出

的公因式，由（1-23

）知的

【答案】①设A 的行向量组为n 元单位向量）.

若矩阵方程XA=E有解，则说明反之，若r （A ）=n，则n 元向量组示，

当然C ，即B=C.

E 的行向量组为，（均为几元行向量）可由

（即

线性表示，从而

的秩是n ，从而任何n 元向量都可由它线性表

也可由它线性表示. 由组合系数所构成的n ×m 矩阵即为XA=E的解.

=n，B=②若r （A ）则由上知方程XA=E有解X=K，即XA=E.于是由AB=AC可得（KA ）（KA ）反之，设AB=AC，则必r （A ）=n.因若r （A ）

6． 设K 为数域，式作成的集合. 证明

【答案】是又

若此，

是满射.

是单射，从而是双射，又由于

因此，

7． 已知A ，B ，C 是n 阶矩阵，A 可逆，并且

证明

可逆，并求其逆。

由Hamilton-Caylay 定理知

由A 可逆，则

于是

上式两边左乘C ，右乘B ，得

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分别为K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项都是多项式空间

的子空间，且二者同构.

的一个映射.

即所有

因

i

均为偶数，从而

i+1

均为奇数，于

是

都作成子空间显然，又易知

同理易知

【答案】设A 的特征多项式为