2017年辽宁师范大学数学学院数学系820高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
对任意多项式【答案】由
则A 的特征值是3，3，-6. 注意到A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵U ，
使得
设
则
2． 设
证明：
②f （x ）用k （x ）除所得余式为【答案】①因为
故
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为n 个互异的数，又
若多项式（13）.
②令设
则即
或
即r （x ）为f （x ）被k （x ）除所得的余式.
3． 计算
有根
其中
故
则其次数
但却有n 个互异根
矛盾. 从而得
【答案】按第一列展开得，得
整理得递推公式
于是
若a=0，则
若
则
于是
故
4． 求二次型
的秩与符号差.
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【答案】设f 对应的矩阵为A ，则
于是由
可得A 的特征值为
的秩=n，f 的符号差=1-（n-1）=2-n.
5． 设A 是
（1）（2）
可逆矩阵P ，Q ，使得
记
则结论成立. （2）记
由（1）得
6． 设
矩阵，r （A ）=1，证明：
【答案】（1）由已知，存在
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