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一、分析计算题

1． V 是数域P 上一个3维线性空间，

求

【答案】先计算出

2． 证明：如果

【答案】因为于是

因此

与

也互素.

且

证明：f （x ）没有有理根.

其中事实上，若而n

否则

即所以

矛盾

. 即

矛盾.

在Q 上不可约. 但g （y ）与

在Q 上有相同的可约性，所

则

3． 设P 是素数，a 是整数，

【答案】令

则

就得到

互素，那么

互素，所以有多项式

也互素. 使得

是它的一组基，f 是V 上一个线性函数，已知

与

由艾森斯坦因判别法知，

以在有理数域上不可约.

4． 设为A 的复系数多项式，n 阶复矩阵A 的特征根都不是

f （A ）为满秩矩阵，且f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式. 【答案】设

的零点. 试回答，

且A 的n 个特征值为所以f （A ）可逆. 又因为

则f （A ）的n 个特征值为

由假设可知

其中

由凯莱定理，知

即f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式g （A ）.

5． 设二次型

其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求a ，b 的值；

（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1 （1）二次型f 的矩阵为

设A 的特征值为

由题设，有

解之得a=l，b=2

（2）由矩阵A 的特征多项式

得A 的特征值对于对于由于

解齐次线性方程组（2E-A ）X=0，得其基础解系

解齐次线性方程组（-3E-A ）X=0，得基础解系

已是正交向量组，因此将单位化，可得

令矩阵

则Q 为正交矩阵. 进而，在正交变换X=QY下，有

且二次型的标准形为

解法2 （1）二次型f 的矩阵为

则A 的特征多项式为

设A 的特征值为由题设得

解之，可得a=l，b=2.

（2）由（1）可得A 的特征值为

以下解法同解法1.

6． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为a ，试证明：

【答案】由假设有

由A 非奇异，从而A 可逆，用

左乘①式两端得

的行元素和必为

则

所以此即的行元素和为