2017年东北财经大学数量经济学801经济学之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即 2 设．在, 且N 与
没有无偏估计.
为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明:
【答案】因为
所
以存
3． （1）设布函数
其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数.
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和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差的分
（2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
时, 样本极差的分布函数.
做变换
的联合密度为
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为,
于是
与
由此可以算得的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果, 有
4． 试证：对任意的常数
【答案】
于所以由此得
5． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
6． 设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为
试证
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令
则
是独立同分布的随机变量, 且
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有
由
于是
又
可写为
, 故有
7． 设由
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
8． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
二、计算题
9． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且
求Z 的分布列.
【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为
由此得
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如果定义随机变量Z
如下