2017年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
独立同分布, 且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
2． 总体
（1）证明
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
第 2 页，共 40 页
, 所以由
诸的相互独立性
得特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知
为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
这说明不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而 3． 设变量序列
是θ的相合估计.
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
, 试证:随机
【答案】
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
4． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
5． 设计.
【答案】由于
第 3 页，共 40 页
, 由此得
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
,
这与前面推出的
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在
也是常数, 故有
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
独立同分布，，证明：是的相合估
这就证明了
，是的相合估计.
6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
7． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
,
, 且X 与Y 相互独立, 令
8． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
二、计算题
第 4 页，共 40 页
相关内容
相关标签