2018年新疆师范大学数学科学学院858数学基础[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
2．
设三维列向量组线性无关，
列向量组线性无关.
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组
线性表示.
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使得
可同时由向量组
和向量组线性表示；
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组向量
下面将方程组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
所有非零解
_
t 为任
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
4． 设
A 为
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，则
由.
得
有
有惟一解知
则方程组
.
即
即
矩阵且有唯一解. 证明
：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组可逆.
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使.
所只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
二、计算题
5．
下列矩阵是不是正交矩阵
? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量. 6． 已知
是矩阵
的一个特征向量
（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设，
即
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