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一、解答题

1． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

是正定矩阵，

并求行列式

的值.

即或

贝

因为A 是

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

且秩

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

（Ⅱ）因

为

2．

已知

其中E

是四阶单位矩阵

故

的规范形为

所以矩阵B 的特征值是

：

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

是四阶矩阵A 的转置矩阵

，

求矩阵A

【答案】

对

作恒等变形，

有即

由

故矩阵可逆.

则有

以下对矩阵做初等变换求逆，

所以有

3． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

则既可由

线性表出，也可

于是

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不全为

当a=0时，解出

因此，Ax=0

与Bx=0的公共解为

4

．

已知矩阵可逆矩阵

P ，

使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵

A 和B 是否相似，若相似则求出

其中

t 为任意常数.

【答案】由矩阵A

的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B 的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化. 而

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1

个线性无

只有1

个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵

B 不能相似对角化

. 因此矩阵

A 和

B 不相似.

二、计算题

5． 设x

为n 维列向量.

【答案】对称性：正交性：

6． 设n 阶矩阵A 的伴随阵为

（1）若

则

令

证明H

是对称的正交阵.

证明：