2018年新疆农业大学林业研究所610大学数学2之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
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当
时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令
X=Qy,
则
3． 已知
，求
【答案】
令则且有
1
所以
4．
证明n 阶矩阵与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
二、计算题
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量. 6．
设
且
求B
合并含有未知矩阵
又
，
其行列式
B
的项，
得
【答案】由方
程