2018年新疆农业大学林业研究所610大学数学2之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
设矩阵.
【答案】
为任意常数.
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（
Ⅲ
）当
时，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量
，故此时
A 不可对角化.
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组
的基础解系为
4． 已知
A
是
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
矩阵，齐次方程组的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
又知齐
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ）如果齐次线性方程组【答案】（1）记
由
贝腕阵的列向量（即矩阵
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A
的行向量）是齐次线性方程组的解.
对
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． 试证；由
【答案】所生成的向量空间记作L ，显然
故
线性无关.
但向量组综上知
6． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】
方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，
知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
所生成的向量空间就是另一方面
，则因
&线性相关，于是B 可由
.
，
线性表示，也即B ∈L.
所以
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
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