2018年上海外国语大学国际关系与公共事务学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为连胜两局为止，求平均比赛局数.
【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2, 3, …等正整数值，事件局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以
公式，可得
又因为对任意的
，总有
故由E （X ）是pq 的严增函数可得
这表明:这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.
2． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为
. 考察似然比
要使似然比化简此式可得这表明:当
为整数和
，必导致
，
时，似然函数
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比赛进行到有一人
表示到第k-l
是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当比较而当其中
式和
为整数且
式可知，当
时，似然函数
，必导致
是M 的减函数，即
为整数时，M 的最大似然估计为
，
，
不为整数时，M 的最大似然估计为
为不超过a 的最大整数. 综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19，n=5，x=2场合，由于几个
如下表所示:
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
3． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位:m/s）如下:
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设
分别为
在显著性水平为下，检验的拒绝域为经计算得
，
可以判断这批枪弹的初速有显著降低. 关于本题说明一点:本题中的一对假设
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，
，
为整数，故M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，
（不为整数），
，实际计算如下表
（单位:m/s）. 经过较长时间储存，取9发进
）？
，
待检验的原假设矾和备择假设
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体
，若取查表知.
，此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，
的检验与
另一对假设的检验有完全相同的拒绝域，
，
这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求'
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全
一致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
4． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列:缺陷数.
【答案】由题意知Y =X+1可看作服从几何分布得
5． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
试求 （1）（2）（3）（4）【答案】 （1）
（2）P （x=y）=0 （3）
（4）（x , y ）的联合分布函数
要分如下5个区域表示:
的联合分布函数.
的随机变量，所以
，由此
求此种产品上的平均
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