2017年曲阜师范大学管理学院850高等代数A考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1 设A 是数域P 上的n 阶幂等阵，．即
【答案】证法1:从
而
又
有
故
是直和，从而
且
所以
是线性方程
组
所以
又由所以 2．
是n 维线性空间V 上的一个线性变换. （1）若（2）设有
’在V 的某基下矩阵A 是多项式的最高次的不变因子是设
则
的伴侣阵，所以
的伴侣阵，则的最小多项式是
的最小多项式是
知
的解空间，维数
为
又
因
而由
所
以
因
此
证明：
知
所以
有
证法2:由证法1
知是直和.
又
是的解空间，维数为
【答案】（1）因为A 是是A 的特征多项式，因此d （A ）=0, 即
则
其中
又单位矩阵可表成
都是矩阵.
因此
，
综上，d （x ）是（2）设用
表示
的最小多项式.
其中
是
的次数最高的不变因子.
的不变因子是
的伴侣矩阵，i=l，2，…，s 那么A 与下列矩阵相似
由（1）, 的最小多项式为即得
由于
是
的最小多项式，因此
是A 的最小多项式，也就是
的最小多项式.
因此，由
满足
线性无关，对次数小于n
的多项式
都有
即
3． 设n 阶行列式
求D 展开式的正项总数.
【答案】由于D 中元素都是±1，因此D 的展开式n! 项中，每一项不是1就是-1, 设展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有
由
得
下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得
将④代入③得
4． 设C 为复数域. 证明：
关于矩阵的普通加法以及数与矩阵的普通乘法作成实数域R 上的线性空间，且与实数域上4元行空间
同构.
【答案】证法IV 作成R 上线性空间显然. 下证V 中矩阵
是V 的一基：设有实数则由此得从而得域上4维空
间. 又因为
也是实数域上4维空间，故
间建立以下映射：
易知不仅是双射，而且是同构映射，由于空间且二者同构.
于是有
即
线性无关. 线性表示. 因此，
是V 的一基，V 为实数
再易知V 中每个矩阵都可由
证法II 在V 与
是R 上4维空间，因此V 也是R 上4维线性
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