2017年曲阜师范大学管理学院764高等代数B(只含线性代数)考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 元素属于实数域R 的
矩阵，按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令
在这线性空间中，变换
是一个线性变换，试求F 的核的维数与一组基. 【答案】解法1取
的一组基
则由①可求得其中
令再令
则解法2设
从而
则
解之，可得基础解系
2． 设T ，S 为线性空间
的如下两个变换：
证明：对任意正整数k 均有
【答案】T , S显然都是
的线性变换. 又因为
故
即
时（1）式成立.
余下步骤同解法1.
且
为KerF 的一组基.
得基础解系
假定（1）式对后成立，下证对成立：
故（1）式对任意正整数k 均成立.
3． 设A ，B 都是n 阶实矩阵，且A 与
（1）
【答案】（1）设所以
（2）设因为A 和
2,
n 故
其中
则
都是正定矩阵，所以
且.
故
即
4． 设实数域R 上矩阵
（1）求A 的特征多项式（2）上可否对角化？
【答案】将
化为标准形
故A 不变因子为， （1）A 的特征多项式
（2）由R 上的不可约多项式仅有2次，2次多项式，故（4）因为化.
_
在R 上可约.
其中E 是n 阶单位矩阵
是E+A的特征值，因为A 是正定矩阵，
是A 的特征值，则
（2）如果是B 的特征值，那么
都是正定矩阵，证明：
是否为R 上不可约多项式？（3）求A 的最小多项式，要写出理由；（4） A 在R
（3）由矩阵的最小多项式等于最后一个不变因子，故最小多项式为
所以矩阵A 的特征值不全在R 中，故A 在R 上不能对角
5． 证明
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）提示按第1行展开. （2）记