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一、证明题

1． 设f f （x ）在有限区间上有定义，证明：（x ）在上一致连续若{xn}是中的柯西列, 则. 也是柯西列.

【答案】

:

对

, 由f （x ）在上一致连续, 则. 设{xn }是中的柯西列, 则对上述的

当m , n>N

时有但因

从而穿插之后序列恒有

, 故

, 从而

, 对有界, 因此

. 由

, 即

存在

也收敛于相同的极限,

亦收敛, 即为柯西列, 但其像序列

, 不是柯西列, 矛盾. 所以f （x ）在上一致连续.

2． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列, 则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

:若f （x ）在上非一致连续, 则

, 当

且

时有

, 存在正整数N ,

为柯西列

.

, 虽然

.

,

中存在收敛子列

,

中相应的子列

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,

则利用二等分法构造区间套

, 使得f （x ）在每个区间

3． 证明定理: 设函数f 在点的某空心右邻域为极限的递减数列

【答案】

有

有

,

现用反证法证明

设对任何以

为极限的递减数列

有定义.

的充要条件是:对任何以

上无界. 由区间套定理, 存在唯一的

然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.

若且

设

则存在某一个正数

不论多么小, 总存在一点x ,

使得

使之满足

并

因此, 可以取到数列

显然设

减数列

单调递减, 且则对任给的且

, 但, 存在

使得当

与题设矛盾. 故

时, 有时, 有

设递,

. 则对上面的存在正整数N , 使得当

从而当时有故

4． 设f （x ，y ）可微，证明:在坐标旋转变换

是一个形式不变量，即若

则必有【答案】

（其中旋转角0是常数）.

故

5． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

之下，

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

进而有

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这就是所谓的内插不等式.

6．

设

（1）

（2

）计算重积分【答案】（1）令S 为由对称性显然可得

而

所以

（2）利用（1）的结果得

7． 试证明

【答案】

数集为对于任意一个正数M , 令

8． 证明定理及其推论.

有上界而无下界. 对任意的

而

故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因

, 证明:

【答案】

用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体

设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于

上任一点, 在

上有

按下标j 与k 相加, 则有