2018年沈阳师范大学物理科学与技术学院854材料科学基础之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 在
平面上, 光滑曲线L 过（1, 0）点, 并且曲线L 上任意一点
为常数）.
处的切线斜
率与直线OP 的斜率之差等于ax （
（1）求曲线L 的方程； （2）如果L 与直线
所围成的平面图形的面积为8, 确定a 的值.
则由题设条件知
解此微分方程并
【答案】（1）设曲线L 的方程为注意到由y （1）=0可得曲线L 的方程为
（2） L 与直线
的交点为（2, 2a）, 于是
解得a=6.
2． 设
（2）求【答案】（1）由于是（2）由得
用莱布尼茨公式对令x=0, 得
又
因
3． 设
【答案】
.
；
得
, .
得
, 对上式两边再求导得
. 两边求n 阶导得到
,
, 从
而
其
中
两边对x 求导得. ,
. 对
两边对z 求导
,
. .
满足方程
（1）证明函数y 满足方程
其中, f （z ）为可微函数, 求Fxy （x , y ）.
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4． 设f （x ）在[a,
b]上单调增加,
但不必连续,
且=c（c 称为f
（x ）的不动点）.
【答案】方法一用区间套定理.
将[a, b]
二等分, 分点记为, 若
, 否则
取当时, 取
, 取再将二等分, 分点记为c 1, 若即可. 若取
, 否则, 取
,
这样保证有,
使得
取
即可;
, 它满足如下性质:
由闭区间套定理,
使得
又由f （x ）的单调性, 有
由此, 利用f （x ）的单调递增性, 可得
即f （c ）=c. 方法二用确界原理. 令（1）由（2）
及f 的单调性知,
. 由f 的单调性
,
, 而
, 所以
. 显然
, 故有上确界C. 易知 , 故
, 故
当然, .
.
如此继续下去, 要么到某一步时, 得到一分点
取
即可. 若
. 求证
:
使得
f （c ）
, 这样保证有, 当
时
,
要么这种步骤可无限地进行下去, 得到一个闭区间列
由（1
）、（2）知, f （c
）=c.
5． 求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:
（1） （2） （3） （4）
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（5）
（6）
（7）
【答案】根据数列极限（1）在（2）在（3）在（4）在（5）在（6）在（7）在 6． 计算
【答案】解法一:令
则
中取中取中取中取中取中取中取
得得得得得得得
可得到以下结果:
其中（1）、（3）、（4）、（5）中的数列是无穷小数列.
解法二:令
则