2018年石家庄铁道大学数理系601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明函数
【答案】因为
（x ）
在[0, 1]上的不连续点是故可积.
因此, 存在现设
设
于是有, 使对
的任何分法, 只要
是, 又显然有
所以f （x ）在[0, 1]上可积.
2． 设
证明:
对任意
无界.
【答案】对任意稠密性, 可以在
这说明
3． 设
【答案】因知收敛.
4． 证明:对黎曼函数
【答案】
在
且
对任意正数中选取有理数
上无界. 有界，证明
收敛.
从而
又
收敛，由比较原则
这样
对任意正数
由有理数的
任意正数
有
在
上
的满足1
就有
的任意分割.
因此,
.
. 任给
f x ）, 由于（在
上只有有限个间断点,
在[0, 1]上可积.
, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]
的任何部分区间上的振幅
有界，故存在M>0, 使
有（当或1时, 考虑单侧极限）
上的黎曼函数的定义为
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对于任意的
满足不等式
的正整数
q 只有有限个. 设
内只有有限多个既约真分数使得
（若
则当
为既约真分数, 则
取.
若
使得则当
因而p 也只有有限个. 于是在
时, 有
内不含这有限个既约真分数.
则当
故
5． 证明
:函数
【答案】
因为又由
在
及
故
上连续
, 且有连续的导函数. 在
上一致收敛
.
在
上连续.
上连续（n=1, 2, …）, 故
在
上连续可知, 则由定理可知
一致收敛且和函数连续. 设
即f （x
）连续且具有连续的导函数.
二、解答题
6
．
求
【答案】
7． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.
【答案】令1.
故
, 则, 由得, 舍去－1得a =
,
. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.
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8． 设
【答案】由于
求dz.
可微，故
9． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛, 当
时级数发散, 当
时, 因为
因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设
, 当
, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续
. 时有
由根式判别法知
收敛, 所以
在
f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]
内非一致收敛.
, 则
即
在（-1, 1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数
所围图形的面积.
11．求
【答案】由于
之和.
, 所以考虑幂级数
的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.
事实上, 设
, 取
在（-1, 1）内非一致收敛.
10．求心形线
【答案】所围图形的面积为