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一、计算题

1． 计算第二型曲线积分的上半圆周

与上半圆周

形成一闭路, 记所围区域为D , 则

所以

2． 求不定积分

【答案】令

则

【答案】用位于x 轴上的线段

其中

为自A （a , 0）至O （0, 0）

3． 写出下列级数的乘积:

（1）（2）

【答案】（1）级数得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

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与级数

在

时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,

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原式（

2

）因

收敛,

故级数

与

均绝对收敛

, 按对角线相乘得

所以, 原式=

4． 求曲线

【答案】

令

, 得时取最大值.

故

当在点

时

,

当

处曲率最大.

时,

, 所以K （:r ）在

=1

上曲率最大的点

.

二、证明题

5． 设

,

, 定义函数

证明:函数f （x , y ）在D 上可积, 且

【答案】因为f （x ,

y）在D

上的不连续点都分布在线段y=x

（件知f （x

, y ）在D

上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为和为

于是

第 3

页，

共

24 页

）上,

由可积的充分条

, 它们的面积分

, 其积分

, 在上任取一点. , 则

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6． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为

【答案】（1）因为f 在正数M ,

因为f 为使得当（2）因为g 为于是, 存在即为

7．

已知反常积分

【答案】注意到

在使得当

时的无穷小量.

内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则

为

的无穷小量, 则为

时的无穷小量.

;

内有定义且不等于0, 所以在

存在正数

’即

故为使得当由g 为即

内也有定义. 对于任意大的

时的无穷小量, 即

时,

时的无穷大量

时,

时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的

时,

时的无穷大量知, 故

,

收敛, 证明含参变量反常积分

在[0, 1]

上一致收敛.

因为反常积分另外

对于固定的

收敛且与y 无关, 所以

都单调, 且在

在[0, 1]上关于y 一致收敛. 时, 满足

, 即一致有界. 从而由

阿贝尔判别法知, 在[0, 1]上一致收敛.

8． 若在区间I 上, 对任何正整数n ,

证明:当【答案】

因为及任意

在I 上一致收敛时, 级数有

从而由

, 得

所以, 由柯西准则知, 级数

9． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式

【答案】设

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在I 上也一致收敛.

总存在N>0

, 使得当

n>N时

, 对任意

在

I 上一致收敛, 故对任给的

在I 上一致收敛.

代入欧拉公式得