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一、计算题

1． 求极限

【答案】应用泰勒展开式得

原极限

2． 计算下列定积分:

（1）（4）（7）【答案】 （1）（2）（3）（4）（5）（6）

（7）先求原函数, 再求积分值:

（8）

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（2

）; （5

）（8

）

（3）（6）

;

.

,

3． 求空间一点到平面下的最小值问题.

的最短距离.

在条

件

【答案】由题意, 相当于

求由几何学知, 空间定点到平面的最短距离存在.

设

令

由①, ②, ③得

代入④解得

所以

故

为所求最短距离.

4． 设函数f （x ）满足条件:性？

【答案】因为n=l, 2, …时

所以

同理可得

即f （x ）在问此函数在

上的傅里叶级数具有什么特

内的傅里叶级数的特性为

二、证明题

5． 设f 为定义在D 上的有界函数, 证明:

【答案】设使得

即

则对一切

有所以

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即对任意

存在

6． 证明:若函数

则对【答案】令有

于是, 对任给的

有

7． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设

.

设

且（或

异号, 由根的存在定理知, 在区间

, 则f 在, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

,

那么

与. 这与

将

与

在区间

内二阶可导, 且对

有

在点作泰勒展开,

有

.

）内至少存在一点, 使得

, 即f 在题设矛盾. 故上恒正. 时同理可证f （x ）恒负.

8． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续, 且对任何. 证明f 为常量函数. 有

【答案】由

知f （x ）是偶函数. 因为

因为f 在x=1连续, 所以当

时,

而当

时,

, 又

故f 为常量函数.

9． 证明数集

【答案】令数集两个聚点.

对任意

由或者有

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, 所以

有且只有两个聚点

,

数列, 数列

且

,

令, 则当.

总之

和

, 则

都是各项互异的数列, 根据定义2, 1和-1是S 的

.

时, 或者有

.

有且只有1和-1两个聚点.

,

得,

取

由定义知不是S 的聚点, 故数集