2018年同济大学测绘与地理信息学院832数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 计算曲线积分径:
,
（a>0, b>0, c>0为常数）,
中解出
.
, 代入椭球面方程整理
其中L 是从点（a , 0, 0）沿着以下曲线到点（0, 0, c）的路
【答案】方法一 （用参数方程求解）从可得
令
则
由于
并注意到椭圆心在
处, 所以
故
方法二 （选取z 作为参数）曲线L 的参数方程为
z 从0到c.
于是有
方法三 （用斯托克斯公式求解）由于空间曲线L 不是闭曲线,
所以补充直线段L
1, 使得L+L1
为闭曲线, 其中L 1是从点（0, 0, c）沿直线
式,
有
其中S 是由L+ L1围的有限部分.
注意到S 在xOy 平面、yOz 平面以及zOx 平面的投影分别为
’到点（
a , 0,
0）的直线段. 由斯托克斯公
及
所以
2． 检验一个半径为2米, 中心角为长
, 设量角最大误差为
的工件面积如图
, 现可直接测量其中心角或此角所对的弦
, 量弦长最大误差为3
毫米, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确.
图
【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为
此由量角引起的弦长最大误差为:
所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确.
, 其中为中心角, 为量角误差, 从而当时由量, 因
, 又因为量角时的最大误差为
3． 试求心形线
【答案】所求平均值为
, 上各点极径的平均值.
4． 设方程组
试问:（1）在什么条件下, 能确定以x , y , v 为自变量, u , z 为因变量的隐函数组? （2）能否确定以x , y, z为自变量, u , v为因变量的隐函数组? （3）计算
【答案】（1）令
则 F （x , w ） =0. 因为
所以根据定理可知, 当f , g 可微, 偏导数连续, 且为自变量, u , z为因变量的隐函数组. （2）令
则因为
不能确定以x , y , z 为自变量, u , v为因变量的隐函数组.
时能确定u , z
.
时, 能确定以x , y , v
所以方程组为x , y , v 的隐函数组, 有
（3）由（1）知当f , g 具有一阶连续偏导数, 且