2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） 【答案】C 【解析】方法1:令 则有 由 线性无关知， 该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于 从而 线性无关，且 线性无关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 因为所以向量组线性无关. 3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）. A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 二、分析计算题 6． 已知 的线性变换在基 下的矩阵为 求在基 下的矩阵. 【答案】因为 记上式右端的4阶矩阵为P , 则在基下的矩阵是 7． 设B 是实数域上 【答案】（1） （2） 矩阵，对任一大于0的常数n , 证明定义了 单位矩阵. 的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示