2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设
不妨设线性相关.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
考虑到即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 则分块矩 且 所以 4． 设 是3维向量空 间的过渡矩阵为（ ） . ， 的一组基, 则由 基到 基 【答案】（A ） 5． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 使AB=0, 则（ ） . 【答案】C 【解析】若当C. 时， 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 二、分析计算题 6． 设A 是数域P 上的n 阶非零非单位矩阵，秩 对于满足【答案】 的整数S ，存在矩阵B , 使得从而存在可逆阵T , 使 证明： 并且 令则 且 此即 另外 而 所以 又因为 即
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