2017年西南交通大学力学与工程学院875高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1. 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有( ).
A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关,即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r (A )>0, r (B )>0, 所以有
R (A ) 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2. 设A 为4×3矩阵,是非齐次线性方程组常数,则 的通解为( ) 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 考虑到 3. 设 A. 若 是 的一个特解,所以选C. 矩阵,下列选项正确的是( ). 线性相关. 第 2 页,共 47 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 的3个线性无关的解,为任意 是非齐次线性方程 组,所以有解矛盾) 的三个线性无关的解,所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组(否则与 的两个线性无关的解. 均为n 维列向量,A 是线性相关,则 B. 若C. 若D. 若【答案】A 线性相关,则线性无关,则线性无关,则 线性无关. 线性相关. 线性无关. 则 线性无关, 【解析】因为当否则有 线性无关时,若秩 线性相关. 由此可否定C ,D. 又由 由上述知因此 4. 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ,则 是不定二次型,故选B. 线性相关,所以线性相关,故选A. 是( )二次型. 于是 由于因此否定A ,C ,A 中有二阶主子式 从而否定D ,故选B. 5. 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ,若存在3阶矩阵 使AB=0, 则( ) . 第 3 页,共 47 页 【答案】C 【解析】若当C. 时, 由AB=0, 用 右乘两边,可得A=0, 这与A 卢)矛盾,从而否定B. ,D. 由AB=0,左乘 可得 矛盾,从而否定A ,故选 二、分析计算题 6. 设 求 及 (k 为正整数). 则 计算可得 相应的线性无关特征向量为 令 则 所以 其次, 则 从而由①,②,③式可得 且 7. 设 为三阶方阵A 的特征值,且对应的特征向量分别为以下三个向量,求 A. 【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异,故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以 第 4 页,共 47 页 【答案】令 所以