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2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题

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2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题(一) ... 2 2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题(二) . 11 2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题(三) . 21 2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题(四) . 30 2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题(五) . 40

一、选择题

1. 设

其中A 可逆,则A. B. C. D. 【答案】C

=( ).

【解析】因为

2. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为( ).

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设(E-A )B=E, 所以有

B (E-A )=E.

又C (E-A )=A,故

(B-C )(E-A )=E-A.

结合E-A 可逆,得B-C=E.

3. 设A 为n 阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得B ,则有( ).

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P (1, 2)A=B,所以有

分别为A ,B 的伴随矩阵,

所以有

即A*右乘初等阵P (1,2)得-B*

解法2:题设P (1,2)A=B,所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

到基

4.

是3维向量空

间的过渡矩阵为( )

.

的一组基, 则由

【答案】(A )

5. 设n (n ≥3)阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.

但当a=l时,

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6. 设A 是n 级幂等阵,且秩为n 试求(1)矩阵A 的相似标准形,并说明理由;(2)计算

【答案】(1)因为

从而A 有无重根的零化多项式

由于

无重根,所以A

相似于对角阵,且特征值只能是1或0. 再由秩A=r, 所以存在可逆阵T ,并有A 的相似标准形为:

其中Er ,为r 级单位阵. (2)由①有

7. 已知

(1)A 的特征多项式(2)A 的伴随矩阵

是6阶方阵A 的极小多项式,且及若当标准形. 的若当标准形.

又A 的特征多项式从而A 的特征多项式

A 有初等因子

A 的若当标准形为

为6次多项式,且

所以

试求

【答案】(1)设A 的不变因子为

由于A 的极小多项式是A 的最后一个不变因子,所以

(2)由(1)知,存在可逆阵P ,使

又显见所以有