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一、综合题

1． 证明：若

为实偶对称，即

则

也为实偶对称。

【答案】根据题意

再利用

的周期性质，上式

进行变量代换，

又因为

为实偶对称，所以

故

可将上式写为

所以

注意若

2． 如果取样频率为间的频率，阻带衰减至少为【答案】设计步骤如下：

第一步：根据题意先设计相应的低通滤波器：

转换成数字频率：

截止频率：

转换成数字频率：

下面我们令

为奇对称，即则为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。

之

用低通滤波器和高通滤波器设计带通滤波器，要求通过7到

过渡带宽度不能超过

所以有：

由于阻带衰减至少70dB , 可选择布莱克曼窗：

窗函数为：

因此低通滤波器冲激响应为：

希望N 为奇数，因此取

第二步：根据题意设计相应的高通滤波器： 截止频率：

转换成数字频率：

所以有：

所要设计的带通滤波器为：

代入表达式即得结果。 3． 已知

【答案】X （z ）有两个极点：

求出对应X （z ）的各种可能的序列表达式。

因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情

况：

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）

收敛域

令

时，因为c 内无极点，x （n ） =0;

时，c 内有极点0，但z=0是一个n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点

有

那么

（2）收敛域

时，c 内有极点0.5，

n ＜0时，c 内有极点0.5、0，但0是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，c 外极点只有一个，即2,

最后得到

（3）收敛域

n ≥0时，c 内有极点0.5、2,

n ＜0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x （n ） =0; 或者这样分析，c 内有极点0.5、2、0, 但0 是一个n 阶极点，改求c 外极点留数，c 外无极点，所以x （n ） =0。 最后得到