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一、证明题

1． 设二元函数

证明：对任意

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

2． 设

在

与之间，介于

与

之间.

在区域

成立

上可微，且对

有

内可微，且满足不等式

证明:存在一点使得

【答案】由已知的不等式，令

则

由推广的罗尔定理

使得

即

3． 设

均为定义在上可积时，g 在【答案】设记由于

有

在

上可积. 存在

令

使当

则当

与

上的有界函数. 证明：若仅在上也可积，且在

上的值仅在k 个点

时，

时，有

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中有限个点处

处不同，

则当在

当

时，

所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明

4． 设

【答案】因为对于这样的当

故

证明：

则于是

，

即

故

是的一个下界.

故

是

的下确

在，证明

时

，可积，且

所以对任给的

存在

使得当因此

5． 设S 为非空数集，定义

⑴

【答案】(1) 设又有对于任意正数

界，即

(2) 同理可证.

6． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

在

上严格单调增加.

因为

在

上严格单调増加，所以

存在

(2)

则任意

使得

二、解答题

7． （1）用定义证明：

（2）求【答案】（1）

取

则当

时，

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（2）

8． 倘若出反例. ）

【答案】不一定. 如反例：设数列

9． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

其中L 是椭圆

为

都是无界数列，试问是否必为无界数列？（若是，需作证明；若否，需给

为

是有界数列.

方向沿逆时针方向.

显然，这两个数列都是无界数列，但是

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

其中

表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.

选取

适当小，使

完全落在L 内，则有

10．设

【答案】对

是n 个正实数，求

取对数得

由此可得

所以

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