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一、证明题

1． 设

由

于

从而可知

2． 设

【答案】设. 时，

有

取

由此推出，当n>N时

3． 设定义在

上连续函数列

且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

. 故当n>N时，有满足关系

对于在

的可积函数f ，定义

证明

收敛，且有不等式

【答案】设

依题意可知

均在

上可积

.

其中

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在上可微，且

则

，因

此

即

为

证明：在

【答案】令

上的单调递减函数，所

以

存在正整数

使得当

使得当时，

有

对于存在正整数

当n>N时，同时有

所以故即级数

的部分和有上界，从而

上连续，

收敛，且

使得

4． 证明:若f 在

则对任何自然数n

,

【答案】令显然

在上述小区间上连续，且

将[0，1]区间n 等分：

若分点若不然，

则由

中有一个使

则命题得证.

可知，上述被加项中必有两项异

号，在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.

5． 设是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：在I 上一致连续.

【答案】由于

在区间I 上有界，则存在

存在

从而

所以

6． 设

【答案】因

时，有

令

在区间I 上一致连续. 收敛，且，

在

在

上一致连续，证明

=0.

使得当

且

使得

使得当

^

再由时，

有

的一致连续性得到，

对于任意

上一致连续，故对于

则由积分第一中值定理得，

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使得因对上述的

当取

存在时，

则当收敛，故级数

使得

时，因

收敛，从而

即

也即

故

故存在惟一的

使得

易见

且

从而

二、解答题

7． 求下列函数的极值：

【答案】

的稳定点为值为

由

因为（3）

由

因（4）

由

得稳定点

为

因

故

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由

和

因为

由极值的第二充分条件知，

在

即得在

处

处取极大值，极大

由极值的第三充分条件知，

不取极值。因为

得稳定点

为

故

因

是

故

是的极大值点，极大值

为

的极小值点，极小值为

得稳定点为

故

和

是

因

故

是的极小值点，

极小值为

的极大值点，极大值为

是的极大值点，极大值为