2017年北京工商大学分析与代数之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 记
【答案】
令
P 为数域，假设
有特征值
为同构. 因为
特征值为
，它们均不是A 的特征但
均不是
A 的特征值. 试证明V 的变换
则
显然保持加法与数乘，下证是一一对应的.
所以是单射，由于V 是有限维空间，所以V 是满射，证
值，得X=0, 此说明的核完.
2． 计算下面的行列式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】 （1）
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（2）（3）原行列式（4）160. （5）（6）0.
3． 设
求
又
【答案】根据综合除法，得
故
4． 设R 的线性变换在标准正交基下的矩阵为
（1）求A 的特征值和特征向量. （2）求
的一组标准正交基，使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.
所以A 的特征值为
【答案】（1）计算可得当
时，特征方程为
此系数矩阵秩为1, 故A 有两个属于1的线性无关的解向量
从而属于1的所有特征向量为
其中
不全为零.
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当时，特征方程为
于是原方程组等价于
故A 的属于4的线性无关特征向量为为任意常数.
（2） A 为实对称阵，从而存在正交阵T ，使
把先正交化：
正交化，再单位化.
再单位化：
从而属于4的所有的特征向量为
其中
故
5． 解方程组
组成了A 的标准正交基，且A 在下的矩阵为对角矩阵.
【答案】利用可得方程组系数行列式
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