2017年河南理工大学数学与信息科学学院877高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为 2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
=（ ）.
到
基
【答案】（A ）
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
则线性方程组（ ）•
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
【答案】（C ） 【解析】设
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 5． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
6． 设
都是4维列向量，且4阶行列式
二、分析计算题
为n 个彼此不等的实数，
是n 个次数不大于（n —2）
的实系数多项式. 证明
【答案】令
这是x 的多项式，或者在
或者若为前者，结论已成立. 若为后者
，
这是不可能的，故
当
时皆为零. 它有至少n-1个根，而次数
=0• 然有
7． 求n 阶矩阵A 的特征值和相应的特征向量，其中
【答案】因为
所以A 的特征值是所有的n 次单位根程组
得一般解
是自由未知量，取基础解
则的特征向量为
对于特征值解方
对于具体的方阵我们总是通过上述方法求特征值和相应的特征向量. 若方阵不是具体的数字矩阵，仅仅知道 矩阵的若干性质，求其特征值与特征向量，灵活性比较大.
8． 设S 是非零的反对称实矩阵，则
（1）
（2）设A 是正定阵，则【答案】（1）有正交阵T 使
于是
最后的不等号是由于
至少有一个
S 是反对称，则
仍反对称，且
（2）A 正定，于是有可逆实矩阵C 使